Die Riemann-Hypothese ist einer der wichtigsten mathematischen Fortschritte in der Geschichte. Georg Friedrich Bernhard Riemann in 1859 es ist in seiner Wirkung noch nicht konkurrenzfähig oder fast gelöst 160 Jahre
Das heißt, bis jetzt - wenn a aktueller Anspruch von seinem Beweis ist wahr.
Aber was ist das? Warum ist es wichtig? Werfen wir einen kurzen Blick auf diesen Grundpfeiler des modernen Primzahlsatzes.
Was ist die Riemann-Hypothese?
Die Riemann-Hypothese war eine bahnbrechende mathematische Vermutung, die in einem berühmten Artikel veröffentlicht wurde. Über die Anzahl der Primzahlen unter einer Person Grösse "Bei Primzahlen kleiner als eine bestimmte Größe" in 1859 von Bernhard Riemann.
Es dreht sich um eines der faszinierendsten Phänomene der Mathematik - Primzahlen. Mathematiker sind seit dem auf der Suche, sie vorherzusagen Anfang der Disziplin.
Mathematik-Giganten wie Euklid, Eulers Produktformel Verbindung von Primzahlen mit der Zeta-Funktion, Gauß Riemann war ein Schüler von Gauß und Legendre Formulierung des Primzahlsatzes für Hadamard und de la Vallée Poussin haben allehat im Laufe der Jahrhunderte große Beiträge auf diesem Gebiet geleistet.
Primzahlen folgen in der Regel keinem erkennbaren Muster. Wenn Sie eine finden, können Sie die nächste nicht vorhersagen, ohne andere Zahlen zu studieren, während Sie vorwärts gehen - weit entfernt von einem effizienten Prozess.
Einige hatten postuliert, dass es nützlich sein könnte, statt nach vorne zu schauen, stattdessen nach hinten zu schauen. Könnte es möglich sein, den Abstand von Primzahlen zu verstehen, indem man sieht, wie viele kleiner sind als die aktuelle?
Genau das versuchte Riemann zu erreichen. Diese Einsicht würde dazu führen, dass Riemann macht einen der größten Sprünge in unserem Verständnis der Primzahlentheorie seit der Antike. Nicht nur das, sondern fast 160 Jahre Es ist eine Leistung, die noch nicht erreicht oder übertroffen wurde.
Die Riemann-Hypothese dreht sich um die Zeta-Funktionsgleichung
wie die Clay Mathematics Institute erklärt :
“[Riemann] stellte fest, dass die Häufigkeit von Primzahlen sehr eng mit dem Verhalten einer ausgeklügelten Funktion zusammenhängt :-
ζ s = 1 + 1/2 s + 1/3 s + 1/4 s + ...
[Dies wird] genannt Riemann-Zeta-Funktion . Die Riemann-Hypothese behauptet, dass alle interessant Lösungen der Gleichung :-
ζ s = 0
auf einer bestimmten vertikalen Geraden liegen. ”
In stark vereinfachten Begriffen bezieht es sich auf die Verteilung von Primzahlen, aber das erklärt es nicht wirklich. Eine ausführlichere Erklärung die erforderlich ist hierfür liegt jedoch außerhalb des Geltungsbereichs dieses Artikels. Jørgen Veisdal ein Doktorand an der Norwegische Universität für Wissenschaft und Technologie hat eine sehr informative Übersicht.
Seine Arbeit bildet nun den Schwerpunkt der Primzahlentheorie und war der Hauptgrund für den Beweis von Primzahlsatz in 1896 . Seitdem wurden mehrere neue Beweise gefunden, darunter elementare Beweise von Selberg und Erdós. Riemanns Hypothese über die Wurzeln der Zeta-Funktion bleibt jedoch ein Rätsel.
Obwohl es von Natur aus sehr komplex ist, ist das, was es zu lösen versucht, ziemlich einfach. Anstatt zu bestimmen, wo Primzahlen waren, versuchte Riemann, deren Natur zu untersuchen.
Er war nicht der erste, der diesen Ansatz verfolgte, tatsächlich war es die "Mode" seiner Kollegen im 19. Jahrhundert, aber er sollte ein Meister davon werden.
Warum ist die Riemann-Hypothese wichtig?
Kurz gesagt, es ist eine Art 'heiliger Gral' der Mathematik. "Die meisten Mathematiker würden ihre Seele mit Mephistopheles gegen einen Beweis eintauschen", sagte Marcus du Sautoy von der Universität Oxford.
Bisher Mathematiker haben eine ziemlich gute Idee, Näherungen für die Dichte von Primzahlen, aber nicht mit absoluter Sicherheit. Diese Näherungen sind genau das und es gibt keine noch bekannte Funktion, die es ihnen ermöglicht, die Anzahl von Primzahlen kleiner als a effizient und perfekt zu berechnengegebene ganze Zahl die dazu neigen, Zahlen mit Millionen von Nullen zu sein.
Da Mathematiker keine genauen Werte bestimmen können, möchten sie wissen, wie gut ihre Annäherungen sind. Dies ist das Problem, das Reimann mit seinen zu lösen versuchte. 1859 Papier.
Wenn seine Hypothese wahr ist, würde dies eine weitaus größere Grenze für den Unterschied zwischen bestehenden Näherungen und dem 'realen' Wert garantieren. Mit anderen Worten, es würde uns sagen, ob Primzahlen so chaotisch sind, wie sie heute scheinen.
Obwohl seine Hypothese Hunderte anderer Konzepte behandelt, befasst sich ihr Kern mit der Verteilung von Primzahlen.
Für manche mag dies wie "viel Aufhebens um nichts" erscheinen, aber wenn Sie feststellen, dass viele große Organisationen wie die NSA viele Zahlentheoretiker rekrutieren, um auf diesem Gebiet zu forschen, ist etwas definitiv wichtig.
Der Primzahlsatz war einst rein theoretisch, hat jedoch begonnen, reale Anwendungen in unserer modernen digitalen Welt zu finden. Mobiltelefone könnten beispielsweise ohne Spreizspektrumkommunikation und "quadratische Restsequenzen" nicht funktionieren.
Beide hängen stark von einigen Eigenschaften von Primzahlen ab, damit mehrere Signale auf demselben Frequenzband arbeiten können.
Aber was noch wichtiger ist Primzahlfaktorisierung wird häufig bei Verschlüsselungstechniken wie Verschlüsselungssystemen mit öffentlichem Schlüssel angewendet. Diese verwenden in der Regel große Halbprimzahlen Multiplikation zweier Primzahlen, um die Verschlüsselung zu sichern.
Um es zu brechen, müssten Sie die Primfaktorisierung der großen Halbprimzahl finden - das heißt, zwei oder mehr Primzahlen, die miteinander multipliziert werden, ergeben die ursprüngliche Zahl.
Wenn diese Technik kleine Primzahlen verwendet, ist es relativ einfach zu knacken, aber die Verwendung größerer Primzahlen kann sogar Tage, Monate oder Jahre dauern, bis sie gelöst sind. Angesichts der nichtlinearen Verteilung der Primzahlen ist der Prozess ein Versuch und Irrtum - SieIch muss alle möglichen Kombinationen ausprobieren.
In kurz, das Lösen hätte unter anderem enorme Auswirkungen Auswirkungen auf die Cybersicherheit .
Die Riemann-Hypothese ist eines der Millennium-Preisprobleme
Es gibt einige Probleme, die hartnäckig über die Fähigkeiten unserer größten Köpfe hinausgegangen sind. Einige davon, zumindest auf dem Gebiet der Mathematik, werden genannt. die Millenium Prize Probleme .
Diese bestehen aus sieben jetzt sechs mathematischen Problemen, die von der Clay Mathematics Institute um die Jahrtausendwende.
Bisher umfassen sie Folgendes :-
1. Yang-Mills und Massenlücke - Nach Quantenlösungen der Yang-Mills-Gleichungen scheint es eine "Massenlücke" zu geben.
2. Riemann-Hypothese
3. P versus NP Problem - Dies wird durch das Hamilton-Pfadproblem charakterisiert. "G iven N Städte zu besuchen, wie kann man dies tun, ohne eine Stadt zweimal zu besuchen? Wenn Sie mir eine Lösung geben, kann ich leicht überprüfen, ob es richtig ist. Aber ich kann nicht so leicht eine Lösung finden. "
4. Navier-Stokes-Gleichung - Die Gleichung, die den Flüssigkeitsfluss regelt. "Es gibt jedoch keinen Beweis für die grundlegendsten Fragen, die man stellen kann: Gibt es Lösungen und sind sie einzigartig?" behauptet worden, obwohl vom Clay Mathematical Institute nicht offiziell anerkannt, dass dies von Mukhtarbay Otelbayev gelöst wurde.
5. Hodge-Vermutung - " Die Antwort auf diese Vermutung bestimmt h Ein Großteil der Topologie des Lösungssatzes eines Systems algebraischer Gleichungen kann anhand weiterer algebraischer Gleichungen definiert werden. "Dieses Problem fragt, ob komplexe mathematische Formen aus einfachen aufgebaut werden können.
6. Poincaré-Vermutung - fragte der französische Mathematiker Henri Poincare in 1904 wenn die dreidimensionale Kugel als "t" gekennzeichnet ist er einzigartig einfach drei Verteiler verbunden. "Es ist ein Sonderfall von Thurstons Geometrisierungsvermutung .
7. Birken- und Swinnerton-Dyer-Vermutung - " Diese Vermutung stützt sich auf viele experimentelle Beweise und bezieht die Anzahl der Punkte auf einer elliptischen Kurve mod p auf den Rang der Gruppe der rationalen Punkte. "Dies ist auch eines der schwierigsten mathematischen Probleme, die noch gelöst werden müssen.
Wie viele Millennium-Probleme wurden gelöst?
Diese Probleme haben jeweils eine Augenweide 1 Million US-Dollar Geldpreis, aber der eigentliche Preis ist der dauerhafte Ruhm und Respekt von Gleichaltrigen, die mit ihrer Lösung einhergehen.
Bisher wurde nur eine der ursprünglichen sieben gelöst. Offiziell nur die Poincaré-Vermutung wurde gelöst. Dies wurde vom russischen Mathematiker gelöst Grigori Perelman in 2003 .
Perelman hat eine Karriere aus der Lösung mathematischer Probleme aufgebaut und bedeutende Beiträge dazu geleistet Riemannsche Geometrie und geometrische Topologie . In 2006 Er wurde in der Nature-Ausgabe vom 22. Dezember für seine Lösung der Vermutung von Poincare geehrt, die ihn als wissenschaftlichen "Durchbruch des Jahres" auszeichnet.
Als es offiziell bekannt gegeben wurde, erfüllte er die Kriterien für den Clay Millenium Prize in 2010 Er lehnte das Preisgeld ab und erklärte, dass seine Beiträge nicht höher seien als die von Richard S. Hamilton.
Aber die Riemann-Hypothese könnte die nächste sein, die fallen wird, wenn sich die jüngsten Nachrichten als richtig herausstellen. Es scheint a 90 Jahre alt pensionierter Mathematiker kann a Lösung das hat seine Kollegen fast geplagt 160 Jahre .
Natürlich muss seine Behauptung zuerst vom Clay Mathematical Institute überprüft werden, aber das könnte bedeuten Die Riemann-Hypothese wurde endlich gelöst.
Aber er ist nicht der erste, der behauptet, das gelöst zu haben Reimann-Hypothese. In 2004, Louis de Branges, ein in Frankreich geborener Mathematiker, der jetzt an der Purdue University in den USA arbeitet, forderte einen Beweis für die Riemann-Hypothese.
Branges 'Lösung war jedoch später von seinen Kollegen entlassen .