17. September 2020 markiert die 194. Jahrestag aus der Geburt des deutschen Mathematikers Bernhard Riemann. Warum sollten wir uns darum kümmern? Nun, Riemann war der erste, der vorschlug, Dimensionen über drei oder vier zu verwenden, um die physikalische Realität zu beschreiben. Und es war Riemanns Arbeit, die lieferte Albert Einstein mit dem mathematischen Rahmen, den er brauchte, um die Ideen der auszudrücken Allgemeine Relativitätstheorie .
Wer war Bernhard Riemann?
Riemann war das zweite von sechs Kindern eines lutherischen Pastors im Dorf Breselenz im damaligen Königreich Hannover. Riemann wollte in die Fußstapfen seines Vaters treten und studierte Theologie, als sein Vater genug Geld zusammenkratzte, umschickte Riemann an die berühmte Universität Göttingen, Riemann begann Mathematik unter nicht weniger einer Persönlichkeit zu studieren als Carl Friedrich Gauss .
Gauß freute sich über seinen neuen Schüler und er beschrieb Riemanns Doktorarbeit über komplexe Variablen als die Arbeit von jemandem mit "einer herrlich fruchtbaren Originalität". Als Riemann versuchte, eine Fakultätsposition an der Universität zu erlangen, ermutigte ihn Gauß, die Grundlagen der Geometrie neu zu formulieren, die zuletzt vom griechischen Mathematiker festgelegt worden waren. Euklid 2000 Jahre zuvor.
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1854 gründete Riemanns Vortrag mit dem Titel "Über die Hypothesen, die den Grundlagen der Geometrie zugrunde liegen" das Gebiet von Riemannsche Geometrie . In der Vorlesung stellte Riemann die Konzepte der metrischer Tensor , gekrümmte Räume beliebiger Größe Geodäten , und die Krümmungstensor der jetzt seinen Namen trägt.
Riemannsche Geometrie versus euklidische Geometrie
Die euklidische Geometrie betrifft flache 2D-Räume. Sie enthält fünf Postulate Axiome :
1. Ein gerades Liniensegment kann von einem bestimmten Punkt zu einem anderen gezeichnet werden.
2. Eine gerade Linie kann auf eine beliebige endliche Länge verlängert werden.
3. Ein Kreis kann mit einem beliebigen Punkt als Mittelpunkt und einem beliebigen Abstand als Radius beschrieben werden.
4. Alle rechten Winkel sind kongruent gleich.
5. Durch einen bestimmten Punkt, der nicht auf einer Linie liegt, verläuft genau eine Linie parallel zu dieser Linie in derselben Ebene.
Die Riemannsche Geometrie betrifft gekrümmte 3D-Oberflächen wie einen Zylinder oder eine Kugel. Sie hat Euklids fünftes Postulat, auch als paralleles Postulat bekannt, verworfen und das zweite Postulat für immer geändert. In der euklidischen Geometrie werden zwei parallele Linien angenommenüberall äquidistant, während es in der Riemannschen Geometrie keine Linien parallel zu einer bestimmten Linie gibt, weil in der Riemannschen Geometrie keine parallelen Linien existieren.
In der Riemannschen Geometrie wird die kürzeste Kurve zwischen einem Punktpaar auf einer gekrümmten Oberfläche als a bezeichnet. minimale geodätische . Sie können eine minimale Geodät zwischen zwei Punkten auf einer gekrümmten Oberfläche finden, indem Sie ein Gummiband zwischen ihnen spannen.
Wenn Sie dies tun, werden Sie feststellen, dass zwischen den beiden Punkten manchmal mehr als eine minimale Geodät liegt. Beispielsweise gibt es viele minimale Geodäten zwischen dem Nord- und Südpol eines Globus, und diese entsprechen den Längengraden auf der ErdeViele parallele Linien verlaufen durch die beiden Punkte an den Polen, was dem parallelen Postulat von Euklid widerspricht.
Wenn Sie ein Dreieck oder einen Kreis auf einer gekrümmten Fläche zeichnen, hängt die Schätzung der Länge der Hypotenuse des Dreiecks oder die Schätzung des Umfangs des Kreises und der Fläche innerhalb des Kreises vom Ausmaß der Krümmung der Oberfläche ab.
Wie stark ist eine Oberfläche gekrümmt?
Es gibt viele verschiedene Formen, die gekrümmte Oberflächen annehmen können. Dies können Zylinder, Kugeln, Paraboloide oder Tori sein.
Oberflächen können eine positive, nullte oder negative Krümmung aufweisen.
In der euklidischen Geometrie ist die Summe der Winkel eines Dreiecks 180 Grad . In der Riemannschen Geometrie ist die Summe der Winkel eines sphärischen Dreiecks die Summe der Winkel plus der Fläche des Dreiecks.
Gravitationslinse
Die Riemannsche Geometrie betrifft auch die Untersuchung höherer Raumdimensionen. In der Nähe der Erde sieht das Universum wie ein dreidimensionaler euklidischer Raum aus. In der Nähe sehr schwerer Objekte wie Sterne und Schwarze Löcher ist der Raum jedoch gekrümmt. Das bedeutet, dass es Paare gibtvon Punkten im Universum, zwischen denen mehr als eine minimale Geodät liegt.
Gravitationslinsen treten auf, wenn Licht von einer entfernten Quelle durch die Krümmung des Raums gebogen wird und das Ausmaß der Biegung eine der Vorhersagen der Allgemeinen Relativitätstheorie ist. Das Ausmaß der Krümmung des Raums kann unter Verwendung der Riemannschen Geometrie geschätzt werden.und Astronomen können dann die Masse eines Sterns oder Schwarzen Lochs basierend auf dem Ausmaß der Gravitationslinse abschätzen. Heute suchen Riemannsche Geometer nach der Beziehung zwischen der Krümmung eines Raums und seiner tatsächlichen Form.
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2018, 89-jähriger emeritierter Mathematiker an der Universität von Edinburgh Michael Atiyah ein Beweis für eines der großen ungelösten Probleme in der Mathematik, bekannt als die Riemann-Hypothese . Atiyans Beweis erwies sich letztendlich als falsch.
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Riemanns Hypothese betrifft Primzahlen wie zwei, drei, fünf, sieben und 11. Eine Primzahl kann nur durch die Zahl eins oder sich selbst geteilt werden. Wenn Sie die Zahlenlinie hinaufsteigen, werden Primzahlen immer seltener und sind es auchdurch immer größere Lücken getrennt.
Riemann schlug vor, die Verteilung der Primzahlen zu verstehen, indem ein anderer Satz von Zahlen analysiert wird, die Nullen einer Funktion namens Riemann-Zeta-Funktion . Es hat sowohl reale als auch imaginäre Eingaben, und wenn wir uns an die Mathematik der High School erinnern, haben imaginäre Zahlen die Form Quadratwurzel von -1.
Riemann verwendete die Zeta-Funktion, um eine Formel zur Berechnung der Anzahl der Primzahlen bis zu einem bestimmten Punkt und in welchen Intervallen zu erstellen. Die Formel von Riemann gilt jedoch nur, wenn alle Realteile der Zeta-Funktion Null sindgleich eine Hälfte .
Für die ersten Primzahlen hat Reimann diese Eigenschaft bewiesen, und nach dem Aufkommen von Computern in den 1950er Jahren hat sich gezeigt, dass die Theorie für viele Primzahlen rechnerisch funktioniert. Die Theorie muss jedoch noch formal bewiesen und bewiesen werdenEin solcher Beweis hätte wichtige Anwendungen auf dem Gebiet der Kryptographie.
1862 entwickelte Riemann eine Tuberkulose und reiste dreimal zur Genesung nach Italien. 1866 starb Riemann auf seiner dritten Reise im Alter von nur 39 Jahren. Zurück in Deutschland in seinem Büro in Göttingen, Riemanns übermäßig effizienter Haushälterinwarf alle seine Papiere aus und verfügte damit möglicherweise über eine bahnbrechende Theorie.
Hätte Riemann länger gelebt oder wäre seine Haushälterin weniger gewissenhaft gewesen, wer weiß, welche anderen wundersamen mathematischen Entdeckungen er hätte machen können.