Wenn Sie Walt Disney World in Florida jemals besucht haben, haben Sie zweifellos das gesehen geodätische Kuppel bei Epcot Raumschiff Erde genannt. Es ist nach einem der Begriffe benannt, die der amerikanische Architekt berühmt gemacht hat. Buckminster Fuller; ein Begriff, der drückte seine Sicht auf die Welt und ihre Ressourcen aus.
Es war Fuller, der die geodätische Kuppel als architektonisches Merkmal populär machte. Die Form basiert auf geodätische Polyeder die eine Klasse von geometrischen Festkörpern sind. Geodätische Polyeder sind konvexe Polyeder, die aus Dreiecken bestehen. Die normalerweise haben ikosaedrische Symmetrie , besteht aus 20 gleichseitigen dreieckigen Flächen, die um die Oberfläche einer Kugel angeordnet sind.
Eine andere berühmte Form, die nach Fuller benannt ist, ist das Kohlenstoffmolekül C 60 Buckminsterfulleren in Form eines abgeschnittenen Ikosaeders, der einem Fußball ähnelt. Es besteht aus 20 Sechsecke a 6-seitig Polygon und 12 Pentagone a 5-seitig Polygon.
Drei Wissenschaftler, Harold Kroto, Robert Curl und Richard Smalley, erhielten 1996 den Novel Prize in Chemistry für ihre Entdeckung der Klasse der Fullerene, zu denen Buckminsterfulleren gehört.
Geometrische Körper können in zwei Klassen unterteilt werden : Polyeder und Nicht-Polyeder . Polyeder haben flach Gesichter oder Seiten und Beispiele sind Würfel und Pyramiden. Nicht-Polyeder haben keine flachen Flächen, und Beispiele sind Kugel, Zylinder, Torus und Kegel. Lassen Sie uns zuerst die Nicht-Polyeder untersuchen.
Kugel
Wie sein 2D-Gegenstück, der Kreis, ist eine Kugel definiert als die Menge von Punkten im dreidimensionalen Raum, die den gleichen Abstand haben. r von einem bestimmten Punkt der Mitte, wo r ist der Radius der Kugel. Die Durchmesser einer Kugel ist doppelt so lang wie ihr Radius.
Die Lautstärke eines geometrischen Volumenkörpers ist der in der Figur enthaltene Raum, während der Oberfläche eines geometrischen Volumenkörpers ist die Ausdehnung der Außenseite oder der Haut der Figur.
Von allen geometrischen Festkörpern hat eine Kugel die kleinste Oberfläche für ein bestimmtes Volumen. Die Natur nutzt diese Eigenschaft bei der Bildung von Wassertröpfchen und -blasen.
Das Volumen einer Kugel wird durch die Formel bestimmt :
V = 4 / 3πr 3
wo r ist der Radius der Kugel und π ist ungefähr 3.14159 .
Die Oberfläche einer Kugel wird nach der Formel berechnet :
A = 4Πr 2
Als Beispiel ist der Radius der Erde 3.959 Meilen 6.378 km , damit wir die Erdoberfläche berechnen können als :
A = 4 * Π * 3.959 2 = 196.961.118 Quadratmeilen .
seit 71% von der Erdoberfläche ist Ozean, der uns mit lässt 57.118.725 Quadratmeilen von dem man leben kann.
In Wirklichkeit ist die Erde keine Kugel, sondern a Sphäroid dh es ist an den Polen leicht abgeflacht. Der polare Radius der Erde ist 3.950 Meilen 6.357 km , während sein äquatorialer Radius ist 3.963 Meilen 6.378 km .
Die Erde ist ein abgeflachter Sphäroid während der bekannte American Football a Prolate Sphäroid . Eine halbe Kugel heißt a Halbkugel und auf der Erde ist vom Nordpol bis zum Äquator die Nordhalbkugel und vom Äquator bis zum Südpol die Südhalbkugel.
Torus
Um einen Torus zu beschreiben, denken Sie an die Form eines Donuts oder eines Innenrohrs. Ein Torus wird durch zwei Radien definiert : r Dies ist der Radius eines kleinen Kreises, der sich entlang einer Linie dreht, die von einem größeren Kreis mit Radius gebildet wird. R .
Um das Volumen eines Torus zu ermitteln, müssen beide Radien berücksichtigt werden :
V = 2ΠR * Πr 2 , was geschrieben werden kann als :
V = 2 * Π 2 * R * r 2
Für einen Torus mit r = 3 Zoll und R = 7 Zoll
V = 2 * Π 2 * 7 * 3 2
V ≈ 1.244 Kubikzoll
Die Oberfläche eines Torus wird durch die Formel bestimmt :
A = 2ΠR * 2Πr , was geschrieben werden kann als :
A = 4 * Π 2 * R * r
Wenn wir die gleichen Abmessungen wie für das Volumen verwenden, erhalten wir :
A = 4 * Π 2 * 7 * 3
A ≈ 829 Quadratzoll
Zylinder
Zylinder sind uns aus Konserven bekannt, die in Zylindern geliefert werden. Zylinder gibt es in zwei allgemeinen Typen : rechts und schräg . Wenn die beiden Enden eines Zylinders zueinander ausgerichtet sind, gilt dies als a rechter Zylinder ansonsten ist es ein Schrägzylinder .
Das Volumen eines Zylinders wird durch die Fläche seiner Basis multipliziert mit seiner Höhe bestimmt :
V = Π * r 2 * h
Also für eine Dose gebackene Bohnen mit einem Radius von 1,5 Zoll und eine Höhe von 4,5 Zoll , seine Lautstärke ist :
V = 3,14159 * 2,25 sq in * 4,5 in
V ≈ 31,8 Kubikzoll .
Die Oberfläche eines Zylinders ist die Summe der Oberfläche beider Enden, dh :
2 * π * r 2
plus die Oberfläche der Seiten, die ist :
2 * π * r * h
Daher beträgt die Gesamtoberfläche eines Zylinders :
A = 2 * Π * r * r + h
Für unsere Dose gebackene Bohnen :
A = 2 * Π * 1,5 * 6
A ≈ 56,5 Quadratzoll .
Kegel
Ein Kegel ist ein geometrischer Körper mit einem Kreis an einem Ende, der als bezeichnet wird. Basis und ein Punkt am anderen Ende, genannt Spitze . Wie bei Zylindern wird der Kegel als a bezeichnet, wenn der Scheitelpunkt mit der Mitte der Basis ausgerichtet ist. rechter Kegel sonst heißt es ein Schrägkegel .
Das Volumen eines Kegels wird durch den Radius seiner Basis und die Höhe seiner Spitze bestimmt :
V = 1/3 Π * r 2 * h
Eine durchschnittliche Eistüte vom Waffeltyp hat einen Radius von 2 Zoll und eine Höhe von 7 Zoll . Um herauszufinden, wie viel Eis es aufnehmen kann :
V = 1/3 * 3,14159 * 4 Quadratzoll * 7 Zoll
V ≈ 29,32 Kubikzoll .
Die Oberfläche eines Kegels wird durch Hinzufügen der Fläche der Basis bestimmt, die : ist
π * r 2
und der Bereich der Seiten des Kegels, der ist :
π * r * s
wo s ist das schräge Länge Dies ist der Abstand von der Basis zur Spitze, gemessen entlang der Objektseite.
Daher ist die Oberfläche eines Kegels :
A = π * r * r + s
Für einen Kegel mit r = 2 und h = 7 , die Oberfläche der Basis wäre :
A = 3,14159 * 4
A ≈ 12,57
Die Oberfläche der Seite ist :
A = π * 2 * √ 2 2 + 7 2
A = π * 2 * √ 4 + 49
A = 2π√ 53
A ≈ 45,74
A = 12,57 + 45,74 ≈ 58,31 Quadratzoll .
Wenn wir das Volumen eines Zylinders und eines Kegels vergleichen, die die gleiche Größe und Höhe haben, ist das Volumen des Kegels genau 1/3 das des Zylinders. Das heißt, wenn Eistüten in Zylindern und nicht in Tüten kommen würden, würden Sie dreimal so viel Eis bekommen. Yay!
Polyeder
Nachdem wir die geometrischen Nicht-Polyeder-Körper untersucht haben, ist es Zeit, einen Blick auf die Polyeder-Körper zu werfen. A Polyeder ist ein geometrischer Körper mit flachen Flächen oder Polygone das sind 2D-Figuren mit mindestens 3 gerade Seiten und Winkel. Im Griechischen bedeutet Poly "viele" und Hedron "Gesicht".
Die Haupttypen von Polyedern sind :
- Quader und Würfel
- platonische Körper
- Prismen
- Pyramiden
Quader und Würfel
Quader sind kastenförmige Objekte mit 6 flache Flächen und alle Winkel sind richtig oder 90 ° Winkel. Quader haben a Länge , a Breite und a Höhe . Wenn alle drei Länge, Breite und Höhe gleich sind, wird ein Quader als Würfel bezeichnet und jede seiner Flächen ist ein Quadrat. Ein Würfel hat 6 Gesichter , 8 Verticies und 12 Kanten .
Wir bestimmen das Volumen eines Quaders durch :
V = Länge * Breite * Höhe
Also für eine Box mit einer Länge von 10 Zoll , eine Breite von 4 Zoll und eine Höhe von 5 Zoll :
V = 10 * 4 * 5
V = 200 Kubikzoll .
Gut zu wissen, ob Sie ein Paket versenden möchten.
Die Oberfläche eines Quaders wird bestimmt durch :
A = 2 * Breite * Länge + 2 * Länge * Höhe + 2 * Höhe * Breite
Für die Box mit einer Länge von 10 Zoll , eine Breite von 4 Zoll und eine Höhe von 5 Zoll :
A = 2 * 4 * 10 + 2 * 10 * 5 + 2 * 5 * 4
A = 220 Quadratzoll .
Dies ist auch gut zu wissen, wenn Sie eine Schachtel einwickeln möchten.
Die platonischen Körper
Benannt nach dem antiken griechischen Philosophen Platon Dies sind 3D-Formen, bei denen jedes Gesicht a ist. reguläres Polygon dh ein Polygon, dessen Seiten alle gleich lang sind. Außerdem muss ein platonischer Körper die gleiche Anzahl von Polygonen haben, die sich jeweils treffen. Scheitelpunkt, oder Ecke. Das bedeutet, dass der Würfel, den wir gerade oben getroffen haben, ein platonischer Körper ist, da jede seiner Flächen ein Quadrat gleicher Größe ist, und 3 Quadrate treffen Sie sich an jedem seiner Eckpunkte ..
Tetraeder
Ein weiterer platonischer Körper ist das Tetraeder, das auch als dreieckige Pyramide bezeichnet wird. Es besteht aus 4 dreieckige Flächen , 6 gerade Kanten und 4 Eckpunkte . Es ist der einzige platonische Körper, der keine parallelen Flächen hat und der einfachste aller platonischen Körper.
Wenn ein Tetraeder alle Gesichter die gleiche Größe und Form hat, ist es a reguläres Tetraeder sonst ist es ein unregelmäßiger Tetraeder .
Das Volumen eines Tetraeders wird bestimmt durch :
V = √2 / 12 * Kantenlänge 3
Für einen Tetraeder mit einer Kantenlänge von 4 Zoll
V = 1,414 / 12 * 64
V ≈ 7,54 Kubikzoll .
Die Oberfläche eines Tetraeders kann gefunden werden durch :
A = √3 * Kantenlänge 2
also für unser Tetraeder mit einer Kantenlänge von 4 , seine Oberfläche wäre :
A = 1,732 * 16
A = ≈ 27,71 Quadratzoll .
Oktaeder
Ein Oktaeder ist wie zwei quadratische Pyramiden, die an ihren Basen verbunden sind. 4 Dreiecke, die sich an jedem Scheitelpunkt treffen 8 Gesichter , 6 Eckpunkte und 12 Kanten .
Wir können das Volumen eines Oktaeders mit berechnen :
V = √2 / 3 * Kantenlänge 3
Für ein Oktaeder mit einer Kantenlänge von 4 Zoll , seine Lautstärke wäre :
V = 1,414 / 3 * 64
V ≈ 30,17 Kubikzoll .
Die Oberfläche eines Oktaeders ist :
A = 2 * √3 * Kantenlänge 2
A = 2 * 1,732 * 16
A ≈ 55,42 Quadratzoll .
Dodekaeder
Dieser platonische Körper entsteht, wenn 3 Pentagone 5-seitig Polygone treffen sich an jedem Scheitelpunkt, es hat 12 Gesichter , 20 Eckpunkte und 30 Kanten . Ein Dodekaeder hat seinen Namen vom Griechischen Dodeca was bedeutet 12.
Die Lautstärke eines Dodekaeders beträgt :
V = 15 + 7 * √5 / 4 * Kantenlänge 3
Für ein Dodekaeder mit einer Kantenlänge von 4 Zoll , die Lautstärke wäre :
V = 15 + 7 * 2,236 / 4 * 64
V ≈ 490,43 Kubikzoll .
Die Formel zum Ermitteln der Oberfläche eines Dodekaeders lautet :
A = 3 * √ 25 + 10 * √5 * Kantenlänge 2
A = 3 25 + 22,36 * 16
A ≈ 330,33 Quadratzoll .
Ikosaeder
Der komplexeste der platonischen Körper an jedem seiner Eckpunkte 5 Dreiecke treffen, das Ikosaeder hat 20 Gesichter von denen jedes ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck mit 3 gleich Seiten und 3 gleich Winkel von 60 ° , 12 Eckpunkte und 30 Kanten .
Das Ikosaeder ist Ihnen vielleicht aus Spielen mit 20-seitigen Würfeln bekannt, und Mutter Natur hat anscheinend auch eine Vorliebe für diese Form, da die äußere Hülle des menschlichen Papillomavirus ein Ikosaeder ist.
Das Volumen eines Ikosaeders wird durch die Formel bestimmt :
V = 5 * 3 + √5 / 12 * Kantenlänge 3
also für ein Ikosaeder mit einer Kantenlänge von 4 Zoll , seine Lautstärke wäre :
V = 5 5,236 / 12 * 64
V ≈ 139,63 Kubikzoll .
Die Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Ikosaeders lautet :
A = 5 * √3 * Kantenlänge 2
A ≈ 138,56 Quadratzoll .
Prismen
Ein Prisma ist ein geometrischer Körper mit identischen Enden, flachen Flächen und demselben Querschnitt entlang seiner Länge. Die beiden Enden eines Prisims werden als seine bezeichnet. Basen und die Gesichter eines Prismas sind alle Parallelogramme eine 2D-Figur, deren gegenüberliegende Seiten parallel und gleich sind und deren entgegengesetzte Winkel gleich sind.
Nach dieser Definition sind der Quader und die Würfel, die wir oben getroffen haben, Prismen, aber Sie können auch dreieckige, fünfeckige und sechseckige Prismen haben, deren Querschnitte ein Dreieck, ein Fünfeck bzw. ein Sechseck sind.
Die Querschnitte von reguläre Prismen haben gleiche Kantenlängen und gleiche Winkel, während die Querschnitte von unregelmäßige Prismen haben ungleiche Kantenlängen und ungleiche Winkel.
Wenn die Basen eines Prismas zueinander ausgerichtet sind, wird das Prisma als a bezeichnet. rechtes Prisma Wenn die Basen nicht miteinander ausgerichtet sind, spricht man von einem schräges Prisma .
Wir können das Volumen eines Prismas bestimmen durch :
Volumen = Grundfläche * Länge
Für ein dreieckiges Prisma mit einer Grundfläche von 25 Quadratzoll und eine Länge von 10 Zoll , seine Lautstärke wäre :
V = 25 Quadratzoll * 10 Zoll
V = 250 Kubikzoll.
Wir können die Oberfläche eines dreieckigen Prismas finden durch :
2 * Grundfläche + Grundumfang * Länge
Wenn wir das Beispiel von oben verwenden, hat unser dreieckiges Prisma eine Grundfläche von 25 Quadratzoll , eine Länge von 10 Zoll und ein Basisumfang von 24 Zoll :
A = 2 * 25 Quadratzoll + 24 Zoll * 10 Zoll
A = 290 Quadratzoll
Pyramiden
Eine Pyramide wird definiert durch eine Basis, die ein Polygon, eine Spitze und Flächen ist, die Dreiecke sind. Die berühmten Pyramiden auf dem ägyptischen Gizeh-Plateau sind es tatsächlich. Quadratische Pyramiden weil ihre Basen ein Quadrat sind. Sie können auch eine Pyramide mit einer dreieckigen Basis haben, die als dreieckige Pyramide bezeichnet wird, und eine Pyramide mit einem Fünfeck als Basis, die als fünfeckige Pyramide bezeichnet wird.
Wenn sich die Spitze einer Pyramide direkt über der Mitte ihrer Basis befindet, spricht man von a rechte Pyramide . Wenn sich der Scheitelpunkt nicht über der Mitte der Basis befindet, spricht man von einem schräge Pyramide .
Das Volumen einer Pyramide wird bestimmt durch :
V = 1/3 * Grundfläche * Höhe
Bestimmen wir das Volumen der Pyramide von Khufu, der größten der drei Pyramiden des Gizeh-Plateaus. Die Länge jeder Seite ihrer Basis beträgt 756 Fuß oder 230,34 Meter . Daher ist seine Grundfläche571.536 Quadratfuß oder 53.056,5 Quadratmeter . Die Höhe der Großen Pyramide ist 455 Fuß oder 138,7 Meter daher ist das Volumen der Großen Pyramide : V = 1/3 * 571.536 sq. Ft. * 455 Fuß
V = 86.682.960 Kubikfuß
Das ist viel Platz für Pharao Khufu, der in der Pyramide begraben ist.
Die Oberfläche einer Pyramide besteht aus zwei Teilen: der
Grundfläche und die Seitenbereich . Für eine unregelmäßige Pyramide müssen Sie die Fläche jeder ihrer dreieckigen Flächen addieren, um ihre Oberfläche zu ermitteln. Bei einer regulären Pyramide können wir die Seitenfläche durch : ermitteln. A = Umfang * Schräglänge / 2
Für die Große Pyramide mit einer Grundlänge von
756 Fuß , sein Umfang ist 3.024 Fuß und seine Neigungslänge ist 612 Fuß oder 186,42 Meter . Daher ist die laterale Oberfläche der Großen Pyramide : A = 3.024 * 612 / 2
welches ist
925.344 Quadratfuß . Hunderte geometrischer Körper
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