Die Zahlentheorie ist ein Zweig der Mathematik, der sich dem Studium von ganzen Zahlen, den sogenannten Zählzahlen, widmet. Die Zahlentheorie begann mit den alten Babyloniern.
Eine babylonische Tafel aus dem Jahr 1.800 v. Chr. Enthält eine Liste pythagoreischer Tripel. Wie jeder weiß, der jemals nach den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gesucht hat, sind dies Zahlen, bei denen a 2 + b 2 = c 2 ein Beispiel dafür ist
3 2 + 4 2 = 5 2
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Die alten Griechen bemerkten sehr viele Dinge über ganze Zahlen, zum Beispiel multiplizieren Sie eine ungerade Zahl mit einer geraden Zahl, und die Antwort ist immer gerade. Dann wurde es für die Zahlentheorie buchstäblich dunkel, wie im "dunklen Zeitalter". "
Erst als französischer Mathematiker Pierre de Fermat 1607 - 1665 diese Zahlentheorie bekam einen Schub. Erstaunlicherweise hat Fermat seine Arbeit nie veröffentlicht, und alles, was wir darüber wissen, stammt aus seiner Korrespondenz mit anderen Mathematikern und in den Notizen, die er in Buchränder schrieb.
Schweizer Mathematiker, Leonhard Euler 1707 - 1783 kam als nächstes, aber erst mit dem Deutschen Carl Friedrich Gauss 1777 - 1855 begann die Zahlentheorie wirklich. Es gibt Mathematiker, und dann gibt es Karl Friedrich Guass.
Eine großartige Geschichte über Gauß
Es gibt eine Geschichte über ihn: Als junger Student in Deutschland hat er sich im Unterricht schlecht benommen. Zur Strafe stellte ihn sein Lehrer vor die Aufgabe, die Zahlen 1 bis 100 zu addieren, und dachte, dass er noch eine Weile dabei sein würdeStattdessen sprang Gauß innerhalb von Minuten mit der Antwort von seinem Platz auf: 5.050.
Schockiert fragte der Lehrer, wie er diese Antwort erhalten habe und Gauß antwortete, dass er bemerkt habe, dass 1 + 100 gleich 101, 2 + 99 auch gleich 101, 3 + 98 sei ... Da es 50 Zahlenpaare geben würde, die alle wärengleich 101, alles was er tun musste war 50 mit 101 zu multiplizieren, um die Antwort zu erhalten.
oft als das bezeichnet Princeps mathematicorum Gauß wurde 1777 in Deutschland geboren und war als kleines Kind ein berechnendes Wunderkind. Als Teenager konstruierte Gauß ein reguläres Polygon mit 17 Seiten, genannt a Heptadecagon allein durch gerade Kante und Kompass. Dies war der erste große Durchbruch in der Polygonkonstruktion seit über 2.000 Jahren.
17 ist a Fermat-Nummer das ist auch a Primzahl . A Fermat Nummer F n hat die Form 2 m + 1, wobei m das n ist th Potenz von 2, dh m = 2 n wobei n eine ganze Zahl ist. Um die Fermat-Nummer F zu finden n für eine ganze Zahl n müssen Sie zuerst m = 2 finden n und dann 2 berechnen m + 1. Beispiele für Fermat-Primzahlen sind :
F 0 = 2 2 0 + 1 = 3
F 1 = 2 2 1 + 1 = 5
F 2 = 2 2 2 + 1 = 17
F 3 = 2 2 3 + 1 = 257
Dies zeigte eine Analyse der Faktorisierung von Polynomgleichungen . Gauß war so verliebt in diese Form, dass er darum bat, sie auf seinen Grabstein zu legen.
1797 war Gauß 'Doktorarbeit ein Beweis für die Grundsatz der Algebra was besagt, dass jede Polynomgleichung mit reellen oder komplexen Koeffizienten so viele Wurzeln hat wie ihr Grad. In der Wurzel ist das Polynom gleich Null. Schauen wir uns ein Beispiel an :
x 2 - 9 = 0, 9 zu beiden Seiten addieren,
x 2 = 9, die Quadratwurzel beider Seiten ziehen
x = plus und minus 3, das sind die Wurzeln.
Aber eine andere Art, die Gleichung zu schreiben, ist :
x 2 - 9 = x + 3 x - 3, die als seine Faktoren bezeichnet werden.
Bis 1801 hatte Gauß die algebraische Zahlentheorie erfunden, die die Idee von "Modulos" enthielt. Diese definieren Mengen von Zahlen. Zum Beispiel, wenn a - b = c und c kann geteilt werden durch m dann a und b sind kongruent zueinander durch die Nummer m . Mal sehen, wie das aussieht :
720 - 480 = 240
240 kann durch die Zahlen 60, 20, 10 usw. geteilt werden
Lassen Sie uns 60 als unsere auswählen c so können wir sagen
720 stimmt mit Modulo 60 mit 480 überein.
Wir verwenden jeden Tag Modulo 60-Arithmetik, wenn wir die Uhrzeit auf einer Uhr anzeigen. Jede Stunde auf einer Uhr ist Modulo 60, da sie durch 60 Minuten teilbar ist.
Gauß trug auch zum Verständnis der Primzahlsatz gibt einen ungefähren Wert für die Anzahl der Primzahlen an, die kleiner oder gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl x, π x sind. Eine Primzahl ist eine ganze Zahl größer als 1, deren einzige Faktoren 1 und sich selbst sind. A.Faktor ist eine ganze Zahl, die gleichmäßig in eine andere Zahl unterteilt werden kann.
Das heißt, es gibt nur eine Primzahl zwischen 1 und 2 die Zahl 2, zwei Primzahlen zwischen 1 und 3,5 die Zahlen 2 und 3 und vier Primzahlen zwischen 1 und 11 die Zahlen 2, 3, 5 und 7
π 2 = 1
π 3,5 = 2
π 10 = 4.
Die ersten Primzahlen sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 und 29.
Beiträge zur Astronomie und Statistik
1800 hatte der italienische Astronom Giuseppe Piazzi den Zwergplaneten entdeckt Ceres aber es verschwand bald hinter der Sonne, bevor genügend Beobachtungen gemacht wurden, um seine Umlaufbahn zu berechnen und wo es wieder auftauchen würde. Viele Astronomen reichten ihre Ideen ein, wo Ceres wieder auftauchen würde, aber eine Idee unterschied sich dramatisch von der anderen - Gauß.
Als Ceres am 7. Dezember 1801 wieder auftauchte, war es fast genau dort, wo Gauß es vorhergesagt hatte. Um Ceres zu finden, hatte Gauß das erfunden. Methode der kleinsten Quadrate . Diese Methode ermittelt die am besten passende Linie für einen Datensatz, wobei jeder Datenpunkt für die Beziehung zwischen einer bekannten unabhängigen Variablen und einer unbekannten abhängigen Variablen repräsentativ istFinanzindustrie.
Danach arbeitete Gauß viele Jahre als Astronom und veröffentlichte eine Hauptarbeit über die Berechnung von Umlaufbahnen. Zwischen 1818 und 1832 stellte der Herzog von Hannover Gauß die Aufgabe, das Gebiet von Hannover zu vermessen. Diese Vermessung führte Gaußein neues Konzept der Krümmung von Oberflächen zu formulieren, und dies war das erste Murmeln des Zweigs der Mathematik genannt Topologie .
In den 1830er Jahren interessierte sich Gauß für Magnetismus und nahm an der ersten weltweiten Untersuchung des Erdmagnetfeldes teil. Zu diesem Zweck erfand er das Magnetometer . Gegen Ende seines Lebens bezweifelte Gauß dies Euklidische Geometrie war vollständig und er dachte, dass es eine alternative geometrische Beschreibung des Raums geben muss. Aber Gauß konnte seine Ideen nicht veröffentlichen, und dies ließ die Tür für den Ungar offen Janos Bolyai und der Russe Nikolay Lobachevsky . Nach Gauß 'Tod im Jahr 1855 wurden viele neue Ideen in seinen unveröffentlichten Papieren gefunden, und es wurde überlassen, Bernhard Riemann um den Sturz der euklidischen Geometrie abzuschließen.