Werbung

Quadratische Formel: Was, warum und wie sie die Mathematik veränderte

Es ist ein wesentliches Prinzip, das die Welt der Algebra und darüber hinaus leitet.

Fast jeder Schüler stößt in der Mathematik auf die quadratische Formel, und sie ist ein beliebtes Mittel, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung herauszufinden.

Im wirklichen Leben hilft uns die quadratische Formel, die Raumfläche, die Geschwindigkeit eines sich bewegenden Objekts, den Wert des mit einem Produkt erzielten Gewinns und mehr zu bestimmen. Sogar die Weg einer Weltraumrakete wird durch eine quadratische Gleichung beschrieben. Daher hat die quadratische Formel nicht nur in der Mathematik Bedeutung, sondern hat auch großen Nutzen in der realen Welt.

Wie lautet die quadratische Formel?

Es ist oft schwierig, bestimmte Typen von quadratischen Gleichungen zu faktorisieren; jedoch können die Wurzeln auch x-Achsenabschnitte oder Nullstellen genannt solcher Gleichungen leicht mit der quadratischen Formel berechnet werden. Eine quadratische Funktion wird grafisch durch eine Parabel mitScheitelpunkt im Ursprung, unter dem x-Achse, oder über der x-Achse. Daher kann eine quadratische Funktion eine, zwei oder null Nullstellen haben.

Die quadratische Gleichung ist im Allgemeinen gegeben als:

Axt2+bx+c = 0

Um die Wurzeln einer quadratischen Funktion zu finden, können wir setzen f x = 0, und lösen Sie die Gleichung, indem Sie das Quadrat vervollständigen.Wenn wir dies tun, erreichen wir die quadratische Formel, die gegeben ist als:

x = [-b ± √b² - 4ac]/2a

Durch Lösen der obigen Gleichung wird der Wert von x Wurzel bestimmt, und die Summe der Wurzeln und das Produkt der Wurzeln der Gleichung können auch weiter abgeleitet werden.

Der Begriff b2 −4ac heißt der Diskriminante. Die Diskriminante ist wichtig, weil sie Ihnen sagt, wie viele Nullstellen eine quadratische Funktion hat. Insbesondere wenn:

b2 −4ac < 0 Es gibt keine echten Wurzeln

b2 −4ac = 0 Es gibt eine reelle Wurzel

b2 −4ac > 0 Es gibt zwei reelle Wurzeln

Werbung

Auf einem Graphen für jede Parabel, die beschrieben wird als y = Axt2+bx+c, die Wurzeln sind die Punkte oder Werte, an denen die Parabel die x-Achse schneidet.

  • Diskriminante in quadratischer Formel

Die Natur der aus der quadratischen Formel erhaltenen Wurzeln wird durch die Diskriminante D bestimmt, die gegeben ist als:

D = b2-4ac

Wenn der Wert von D null ist, werden die Wurzeln als reell und gleich bezeichnet. Wenn der Wert von D positiv ist, sind die erhaltenen Wurzeln reell und ungleich, und wenn D negativ ist, dann sind Wurzeln komplex konjugiert, also gibt es keine reellen Wurzeln.

Faktorisierung und Vervollständigung der Quadratmethode sind zwei andere Möglichkeiten, eine quadratische Gleichung zu lösen. Die quadratische Formel wird als effizienter angesehen, weil es für alle Gleichungen anwendbar ist und als einzige einzelne Formel fungiert, die die Wurzeln in jeder quadratischen Gleichung auswerten kann. Außerdem ist es im Vergleich zu den anderen beiden Methoden einfacher, die Natur von Wurzeln zu erklärendurch die quadratische Formel, aus dem Wert von D.

Werbung
  • Typen quadratischer Gleichungen

Eine quadratische Gleichung kann in drei verschiedenen Formen geschrieben werden:

Standardform: y = Axt2 + bx + c

Faktorisierte Form: y = ax + c

bx + dScheitelpunktform: y = ax + b2 + c

Sie können eine quadratische Gleichung je nach Bedarf von einer Form in eine andere ändern. Wenn Sie beispielsweise die Nullstellen einer quadratischen Standardgleichung finden müssen, können Sie diese zuerst in die faktorisierte Form ändern.

Wer hat die quadratische Formel erfunden?Die Geschichte der quadratischen Formel kann bis zu den alten Ägyptern zurückverfolgt werden. Die Theorie ist, dass die Ägypter wusste, wie man die Fläche verschiedener Formen berechnet, aber nicht wie

Berechnen Sie die Länge der Seiten einer bestimmten Form, z. B. die Wandgröße, die benötigt wird, um einen bestimmten Grundriss zu erstellen.

WerbungUm das praktische Problem zu lösen, hatten ägyptische Mathematiker um 1500 v. Chr. eine Tabelle für die Fläche und Seitenlänge verschiedener Formen. Diese Tabelle könnte beispielsweise verwendet werden, um

Bestimmen Sie die Größe eines Heubodens, der benötigt wird, um eine bestimmte Menge Heu zu lagern.Diese Methode funktionierte zwar gut, war aber keine allgemeine Lösung. Der nächste Ansatz könnte von den Babyloniern gekommen sein, die gegenüber den Ägyptern einen Vorteil hatten, da ihr Zahlensystem eher dem von uns heute verwendeten entsprach obwohl es hexagesimal war ., oder Basis-60. Dies machte die Addition und Multiplikation einfacher. Es wird angenommen, dass b

y um 400 v. Chr. hatten die Babylonier die Methode zur Vervollständigung des Quadrats entwickelt, um allgemeine Probleme mit Flächen zu lösen. Eine ähnliche Methode erscheint auch in chinesischen Dokumenten zur gleichen Zeit.

Werbung

Die Methode der Quadratvervollständigung ermöglichte es den Babyloniern und Chinesen, die von ihnen berechneten Flächenwerte für verschiedene Zwecke zu überprüfen.Die ersten Versuche, eine allgemeinere Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen zu finden, wurden möglicherweise von den griechischen Philosophen Pythagoras um 500 v. Chr. und gemacht.Euklid

ca. 300 v. Chr., die beide einen geometrischen Ansatz verwendeten, um ein allgemeines Verfahren zur Lösung der quadratischen Gleichung abzuleiten.Pythagoras beobachtete, dass der Wert einer Quadratwurzel nicht immer eine ganze Zahl ist. Er weigerte sich jedoch, nicht rationale Proportionen zuzulassen.Euklid, in seiner mathematischen AbhandlungElemente,

vorgeschlagen, dass auch irrationale Quadratwurzeln möglich sind.

Da die alten Griechen jedoch nicht das gleiche Zahlensystem verwendeten, das wir heute verwenden, war es nicht möglich, die Quadratwurzel von Hand zu berechnen, was Architekten und Ingenieure wirklich brauchten.

WerbungEs war der indische Mathematiker Brahmagupta, der in seiner Abhandlung von 628 n. Chr. die Lösung der quadratischen Gleichung aufstellteBrāhmasphuṭasiddhānta 'Richtig begründete Lehre von Brahma'

.

Die indische Mathematik verwendete das Dezimalsystem. Es hatte auch einen weiteren Vorteil gegenüber dem System der alten Ägypter und Griechen – die Null. Die Null ermöglichte es Mathematikern, nicht nur über irrationale Zahlen zu theoretisieren, sondern sie auch in Gleichungen zu verwenden.Brahmagupta hat erkannt, dass es sie gibtzwei Wurzeln in der Lösung einer quadratischen Gleichung und beschrieb die quadratische Formel als: "Zu der absoluten Zahl multipliziert mit dem Vierfachen des [Koeffizienten des] Quadrats addiere das Quadrat des [Koeffizienten des] Mittelterms; die Quadratwurzel desselben, abzüglich des [Koeffizienten]des] Mittelterms, geteilt durch das Doppelte des [Koeffizienten des] Quadrats ist der Wert." Dies

kann geschrieben werden als:

Werbungx = [√4ac+b2 - b]

/2a

Dies war auch eine der ersten Arbeiten, die konkrete Möglichkeiten zur Verwendung der Null beschrieb. In den folgenden Jahren bestätigte der indische Astronom Bhāskara mathematisch die Möglichkeit, dass jede positive Zahl zwei Quadratwurzeln hat.Um 820 n. Chr. entwickelte der persische Mathematiker Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, der mit der in der indischen Mathematik verwendeten Nullstelle vertraut war, das, was wir heute als Algebra kennen. Er löste die quadratische Gleichung mit algebraischen Ausdrücken obwohl er negative Lösungen ablehnte undwird oft gutgeschrieben als Vater der Algebra

. Sein Werk gelangte um 1100 n. Chr. nach Europa, wo es ins Lateinische übersetzt wurde.

Bis 1545 hatte der italienische Wissenschaftler Gerolamo Cardano Arbeiten zu den quadratischen Gleichungen zusammengestellt, darunter sowohl die Lösung von Al-Khwarizmi als auch die euklidische Geometrie. In seinen Werken lässt er die Existenz von Wurzeln negativer Zahlen zu.Der flämische Ingenieur und Physiker Simon Stevin hat in seinem Buch die allgemeine Lösung der quadratischen Gleichung für alle Fälle angegebenArithmetikim Jahr 1594. Später veröffentlichte der französische Wissenschaftler René Descartes in seinem Werk von 1637 die Spezialfälle der quadratischen FormelLa Géométrie, das auch die mathematische Notation und Symbolik verwendete, die vom Mathematiker François Viète entwickelt wurden. Descartes' Arbeit umfasste

die quadratische Formel in der Form, die wir heute kennen.

Die quadratische Gleichung im wirklichen Leben

  • Die quadratische Gleichung entstand aus der einfachen Notwendigkeit, die Fläche von quadratischen und rechteckigen Körpern bequem zu finden, aber seit ihrer Entstehung hat diese beliebte mathematische Gleichung nun einen langen Weg zurückgelegt, um ihre Bedeutung in der realen Welt zu beweisen.
  • Sportanalysten und Teamselektoren verwenden verschiedene quadratische Gleichungen, um die Leistung von Athleten über einen bestimmten Zeitraum zu analysieren. Darüber hinaus verwenden Sportveranstaltungen wie Speerwurf und Basketball quadratische Formeln, um die genaue Distanz, Geschwindigkeit oder Zeit zu finden, die erforderlich ist, um mehr zu erzielen.Militär- und Strafverfolgungseinheitenbenutze quadratische Formeln zum Berechnen
  • die Geschwindigkeit von Raketen, sich bewegenden Fahrzeugen und Flugzeugen. Die Landekoordinaten von Flugzeugen, Panzern und Jets werden ebenfalls mit den Formeln aus quadratischen Gleichungen bestimmt.
  • Autoteile wie Bremsen und Kurvenelemente werden nach der quadratischen Formel konstruiert. Rentenpläne, Versicherungsmodelle, Arbeitsleistung der Mitarbeiter; all diese Parameter werden mit quadratischen Gleichungen berechnet. Außerdem werden die Grenzen in Ackerland und dieFlächen der Felder mit dem höchsten Ertrag werden ebenfalls mit der quadratischen Formel gemessen.
  • Der Bau von Denkmälern, Büros, Wohnungen, Straßen, Brücken und mehr erfordert komplexe Berechnungen und Flächenmessungen, daher werden all diese mathematischen Komplikationen mit verschiedenen quadratischen Formeln behandelt.Die Winkel, auf die eine Satellitenschüssel eingestellt ist, um die Signale zu empfangenwerden auch bestimmt

unter Verwendung der quadratischen Gleichungen. Um herauszufinden, wie eine Schüssel Signale von mehreren Satelliten gleichzeitig empfängt, wird eine quadratische Gleichung berücksichtigt.Die quadratische Formel gehört zu den Grundprinzipien

Werbung

Folgen Sie uns auf

Bleiben Sie über die neuesten technischen Nachrichten auf dem Laufenden

ABONNIERENMit der Anmeldung stimmen Sie unseren zuNutzungsbedingungen und Datenschutzrichtlinie