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Können Sie das virale Mathematik-Rätsel dieses Gefängnisinsassen lösen?

Der Schulabbrecher-Insasse fing an, sich in Einzelhaft Mathematik beizubringen.

Letztes Jahr ein Insasse, der 25 Jahre wegen Mordes verbüßt Schlagzeilen gemacht durch Veröffentlichung einer wissenschaftlichen Arbeit in der Zeitschrift Forschung in der Zahlentheorie .

als a Beliebte Mechanik Bericht erklärt, Christopher Havens hat die High School abgebrochen, aber kurz nach Beginn seiner Haftstrafe 2011 begonnen, sich in Einzelhaft Mathematik beizubringen.

Insbesondere Havens war fasziniert vom Gebiet der Zahlentheorie, das sich mit dem Studium von ganzen Zahlen und ihren Funktionen befasst.

Im Gefängnis soll Havens den Abschnitt "Probleme" von gelesen haben. Math Horizons, eine Mathematik-Publikation für Studenten. Jetzt Math Horizon druckt eines von Havens 'eigenen mathematischen Problemen. Das Problem, das der Gefängnisinsasse eingereicht hat, lautet wie folgt :

'Was ist die kleinste positive ganze Zahl y, so dass 1729y 2 +1 ist ein perfektes Quadrat? '

Das von Havens aufgeworfene Problem bezieht sich auf eine berühmte Geschichte im Zusammenhang mit dem indischen Mathematiker und Zahlentheoretiker Srinivasa Ramanujan der am 22. Dezember 1887 geboren wurde.

In einem Gespräch zwischen Ramanujan und dem Zahlentheoretiker GH Hardy von der Universität Cambridge teilte dieser Ramanujan mit, dass er ein Taxi mit der Nummer 1729 genommen habe.

Laut der Geschichte bemerkte Hardy, dass die Zahl besonders langweilig sei, worauf Ramanujan Berichten zufolge antwortete: " Nein, es ist eine sehr interessante Zahl; es ist die kleinste Zahl, die auf zwei verschiedene Arten als Summe zweier Würfel ausgedrückt werden kann. "

Ramanujan bemerkte fast augenblicklich, dass die Nummer 1729 als beides geschrieben werden kann 1 3 +12 3 und 9 3 +10 3 .

Pellsche Gleichung und Chakravala-Methode

Havens 'Problem ist ein Beispiel für die Pellsche Gleichung, auch als Pell-Fermat-Gleichung bekannt. Sie hat die Form x 2 −Ny 2 = 1 wobei N ist eine positive nichtquadratische Ganzzahl.

As Beliebte Mechanik weist darauf hin, dass eine Methode zur Lösung der Pellschen Gleichung etwa 500 Jahre vor der Gleichung gefunden wurde falsch dem englischen Mathematiker John Pell zugeschrieben - Leonhard Euler schrieb Pell die Lösung eines anderen Zeitgenossen den Gleichungen zu, aber der Name blieb und wurde nie korrigiert.

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Der indische Mathematiker Bhāskara II, der im 12. Jahrhundert lebte, entwickelte einen Algorithmus zur Lösung der Pellschen Gleichung - bekannt als die Chakravala-Methode .

Die Idee an der Wurzel der Chakravala-Methode besteht darin, mit einer Vermutung einer Lösung zu beginnen und diese schrittweise anzupassen, um schließlich die richtige Lösung zu finden.

Lösung finden

Ein anderer Algorithmus, der zur Lösung der Pellschen Gleichung verwendet werden kann, besteht darin, dass Problemlöser die fortgesetzte Bruchdarstellung der Quadratwurzel des Koeffizienten N in der Gleichung finden. Also in Christopher Havens 'Problem, 1792. Ähnlich wie bei der Chakravala-Methode, fortgesetzte Brüchesind Annäherungen.

Wie Evelyn Lamb in ihrem Artikel für schreibt Beliebte Mechanik :

"A Wenn die Höhe des Turms aus Zählern und Nennern zunimmt, nähert sich die Näherung der fortgesetzten Brüche der zu approximierenden irrationalen Zahl an. Die Erkenntnis des Ansatzes der fortgesetzten Brüche zur Lösung der Pellschen Gleichung ist, dass bei großen x- und y-Werten eine Differenz von1 ist relativ klein. Mit anderen Worten, Zahlen, die x erfüllen 2 −Ny 2 = 1 sind fast Zahlen, die x erfüllen 2 = Ny 2 oder x / y 2 = N. Wenn Sie also nach einer rationalen Zahl x / y suchen, deren Quadrat nahe 1729 liegt, können Sie die Zahlen x und y finden, die x erfüllen. 2 −1729y 2 = 1. "

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Um vom fortgesetzten Bruch für √1729 zur Lösung für die Pellsche Gleichung zu gelangen, müssen Sie die bei jedem Schritt abgeleitete rationale Näherung Konvergenz genannt verwenden, die als Bruch x / y geschrieben wird. Sie müssen dann sehen, obdie Konvergenz erfüllt die Gleichung x 2 −1729y 2 = 1.

Dies ist eine langsame methodische Arbeit, die sich gut für jemanden eignet, der die Langeweile der Einzelhaft erlebt. Möchten Sie überprüfen, ob Sie die richtige Lösung haben, oder einfach eine schnellere Wurzel für die Antwort finden? Geben Sie einfach 1792 ein. Pell-Gleichungsrechner .

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