Was ist Analysis und erfüllt sie in der realen Welt irgendeinen Zweck?

Können Sie sich Ihr Leben vorstellen, in dem sich nichts geändert hat? Diese Momente sind selten, da alles in unserem Leben einer Veränderung unterliegt. Die Menge an Nahrung, die wir jeden Tag essen, die Anzahl der Schritte, die wir gehen, und sogar die Zeit, zu der die Sonne aufgeht. Kalkül ist ein Zweig der Mathematik, die es uns ermöglicht, den kontinuierlichen Wandel zu untersuchen. Die meisten Menschen sehen die Analysis nur als eine Reihe von Gleichungen, die viele Berechnungen beinhalten, aber es ist eigentlich die Reihe von Prinzipien, die wir jeden Tag in unserem Leben anwenden.

Die Anwendung der Infinitesimalrechnung findet sich in Physik, Medizin, Ingenieurwesen und Wirtschaftswissenschaften. Sie spielte eine Schlüsselrolle bei der Entwicklung der Navigation im 17. und 18. Jahrhundert und spielt heute eine entscheidende Rolle in der Raumfahrt und in derEntwicklung verschiedener anderer fortschrittlicher Technologien. Zu den Bereichen und Disziplinen, die Analysis verwenden, gehören Thermodynamik, Elektrizität, Akustik, Geographie, Computer Vision, Wirtschaft, Robotik, Demographie, Schiffsdesign und Ingenieurwesen.

Schauen wir uns die Geschichte der Infinitesimalrechnung genauer an.

Was ist Analysis und welche Typen gibt es?

Calculus verwendet mathematische Operationen, um Änderungsraten zu untersuchen und zu analysieren und Muster zwischen Gleichungen zu finden. Es ist ein bedeutender Zweig der Mathematik. Bevor Sie jedoch tief in die Analysis eintauchen, müssen Sie die Bedeutung hinter drei Begriffen verstehen: Funktion, Ableitung und Integral.

Eine Funktion definiert die Verbindung zwischen zwei Variablen z. B. Entfernung und Zeit, Temperatur und Volumen usw. in einer Gleichung. Eine Funktion 𝑓 besteht aus einer Eingabe oder einer Menge von Eingaben, einer Ausgabe oder einer Menge von Ausgaben und einer Regelfür die Zuordnung jedes Eingangs zu genau einem Ausgang.

Die Ableitung ist definiert als die Änderungsrate einer Funktion in Bezug auf eine Variable dh Ausgangswert in Bezug auf Eingangswert. AnIntegral ist ein mathematisches Objekt, das als Fläche oder Verallgemeinerung der Fläche interpretiert werden kann.

Anhand von Infinitesimalrechnungen können Wissenschaftler, Astronomen, Physiker, Mathematiker und Chemiker mathematische Gleichungen entwickeln, die es ihnen ermöglichen, die Umlaufbahn von Planeten und Sternen zu kartieren, die Positionen und Bahnen von Protonen und Elektronen zu bestimmen, zu wissen, wie Medikamente mit menschlichen Zellen interagieren,und Antworten auf viele finden andere mathematische Fragen.

Es gibt zwei Hauptarten von Kalkülen: Differential- und Integralrechnung. Hier ist eine Übersicht darüber:

Was ist Differentialrechnung?

Der Zweig der Analysis, der darauf abzielt, die Änderungsrate einer Funktion in Bezug auf die Variable, von der sie abhängt, zu finden, wird Differentialrechnung genannt. Sie wird üblicherweise verwendet, um die Steigung einer Linie wie steil sie ist an einem bestimmten Punkt auf a Kurve.

Während das Finden einer Steigung auf einer geraden Linie relativ einfach ist, hat die Steigung auf einer Kurve an verschiedenen Punkten unterschiedliche Werte, wenn sich die Linie biegt. Eine Möglichkeit, die Steigung zu finden, besteht darin, die Kurve mathematisch in sehr kleine Stücke zu schneiden, so dassjedes Stück stellt eine gerade Linie dar. Die Steigung dieser geraden Linie ist dann die gleiche wie die Steigung der Kurve an diesem Punkt - dies wird Tangente genannt.

Für Funktionen, die auf wirkenreelle Zahlen, die Ableitung d ist die Steigung der Tangente Linie an einem Punkt in einem Diagramm. Die Ableitung wird oft als dy/dx geschrieben die Differenz in y dividiert durch die Differenz in x.

Ein Bereich von Punkten oder eine Grenze wird auf beiden Seiten des Bereichs oder Punktes gewählt, den wir zu finden versuchen. Dann wird die Tangente über der Grenze berechnet.Die Steigung nähert sich einem bestimmten Wert, wenn sich die Tangenten der tatsächlichen Steigung der Kurve näherten. Der bestimmte Wert, dem sie sich näherte, ist die tatsächliche Steigung.

Dieser Prozess der Berechnung einer Steigung unter Verwendung von Grenzwerten wird Differenzierung oder Bestimmung der Ableitung genannt.

Was ist Integralrechnung?

Während sich die Differentialrechnung in erster Linie mit der Steigung einer Kurve befasst, befasst sich die Integralrechnung dagegen mit der Berechnung der Fläche unter einem Graphen einer Funktion.

Wenn wir zum Beispiel die Entfernung berechnen, die ein Auto zurücklegt, und die Geschwindigkeit des Autos zu verschiedenen Zeitpunkten kennen, können wir ein Diagramm dieser Geschwindigkeit zeichnen, und die Entfernung, die das Auto zurücklegt, ist die Fläche unter dem Diagramm.

Dazu wird der Graph in viele sehr kleine Stücke geteilt und Rechtecke unter jedes Stück „gezeichnet“. Die Fläche eines Rechtecks ​​lässt sich leicht berechnen, sodass dann die Gesamtfläche aller Rechtecke berechnet werden kann. Wenn die Rechteckedünn genug gemacht werden, dann wird der Wert der Gesamtfläche Annäherung der Bereich unter dem Diagramm. Dieser Wert des Bereichs wird als bezeichnet Integral der Funktion.

Grundsatz der Infinitesimalrechnung

Der Satz ist eigentlich a zweiteiliges Konzept das die Differentiation einer Funktion mit der Integration einer Funktion verbindet. Der Satz zeigt, dass Differentiation und Integration inverse Prozesse sind.

Der erste Teil des Satzes legt das Verfahren zur Berechnung eines bestimmten Integrals fest ein Integral, bei dem Sie die obere und untere Integrationsgrenze angegeben haben.

Es heißt, wenn wir zuerst integrierenf und dann das Ergebnis differenzieren, kommen wir zurück zur ursprünglichen Funktion f. Das unbestimmte Integral F einer Funktion f kann aus der Integration von Funktion abgeleitet werdenf. Daher zeigt es, dass unbestimmte Integrale für stetige Funktionen existieren.

Der zweite Teil des Fundamentalsatzes ist eine Möglichkeit, ein bestimmtes Integral in Bezug auf unbestimmte Integrale zu berechnen. Ein unbestimmtes Integral, auch Stammfunktion genannt, ist ein Integral ohne obere und untere Grenze.

Für eine Funktionf das über ein Intervall kontinuierlich ist, erlaubt uns der Satz, eine neue Funktion zu erstellen, Fx, durch Integrieren f über dieses Intervall. Wenn wir dies tun, Fx ist die Stammfunktion von fx, und fx ist die Ableitung von Fx. weiter, Fx ist die Akkumulation der Fläche unter der Kurve f über dieses Intervall.

Der zweite fundamentale Satz der Analysis stellt eine Beziehung zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion her. Er ermöglicht es uns, die Ableitung einer Kurve zu finden und sie bei bestimmten Werten der Variablen zu bewerten, wenn die Verwendung einer Stammfunktion ansonsten schwierig ist.

Wer hat die Analysis erfunden?

Griechische Mathematiker unternahmen die allerersten Schritte zur Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Im späten fünften Jahrhundert schlug der Astronom Eudoxus von Knidos ein Konzept vor, das als Methode der Erschöpfung bezeichnet wird. Er behauptete, dass durch die Verwendung dieser Methode die Fläche jede beliebige Form haben könnteberechnet, indem eine Folge von Polygonen innerhalb der Form gezeichnet wird, da die von allen Polygonen bedeckte Fläche fast der von der Form begrenzten Gesamtfläche entspricht.

Später, die griechischer Mathematiker Archimedes verwendete die Methode der Erschöpfung, um den Umfang eines Kreises zu berechnen, und verwendete seine Erkenntnisse, um die mathematische Konstante π Pi zu definieren. Interessanterweise hörte er hier nicht auf und verwendete die gleiche Methode, um das Volumen einer Kugel zu berechnen,die Fläche einer Ellipse, die Fläche einer spiralförmigen Drehung, das Volumen eines Zylinders und verschiedene andere geometrische Größen.

Zwischen dem 3. und 5. Jahrhundert n. Chr. entwickelten die chinesischen Mathematiker Liu Hui und Zu Gengzhi ebenfalls ihre eigene Version der Erschöpfungsmethode und verwendeten sie, um die Fläche des Kreises bzw. das Volumen einer Kugel zu berechnen.

Einige Studien weisen darauf hin dass alte indische Gelehrte über die Infinitesimalrechnung wussten, lange bevor sie von modernen Mathematikern praktiziert wurde. Zum Beispiel deuten historische Beweise darauf hin, dass im 15. Jahrhundert zwei indische Astronomen und Mathematiker, Madhava von Sangamagrāma und Nilkantha Somayaji, Theorien entwickelten, die verschiedene Elemente vonheutiges Kalkül.

Ein anderer indischer Astronom, Bhaskara II oder Bhaskaracharya, soll Konzepte und Prinzipien erwähnt haben ähnlich Differential- und Integralrechnungin seinem BuchSiddhānta Shiromani, ursprünglich geschrieben im Jahr 1150 n. Chr. Interessanterweise behandelt das Buch auch ausführlich Algebra, Trigonometrie und verschiedene andere mathematische Konzepte.

In der Neuzeit, deutsch Astronom Johannes Kepler startete die Weiterentwicklung der Infinitesimalrechnung. In seiner Arbeit mit dem Titel Stereometrica Doliorum, er schlug eine Methode vor, um die Fläche einer Ellipse zu berechnen.

In den folgenden Jahren leisteten zahlreiche andere Wissenschaftler und Mathematiker, wie Isaac Barrow, Evangelista Torricelli, Rene Descartes, Pierre Fermat usw., bemerkenswerte Beiträge auf dem Gebiet der Infinitesimalrechnung. Die endgültige Aufklärung der Infinitesimalrechnung wird jedoch zugeschriebenbeide Sir Isaac Newton und Gottfried Leibniz, der ihre Grundlagen selbstständig entwickelt und ihre zugrunde liegenden Prinzipien ausführlich erläutert hat.

Obwohl sie beide maßgeblich an der Entwicklung der Analysis beteiligt waren, betrachteten sie die grundlegenden Konzepte auf sehr unterschiedliche Weise.

Newton betrachtete die Infinitesimalrechnung als die wissenschaftliche Beschreibung der Erzeugung von Bewegung und Größen, während Leibniz sich auf Tangenten und den Begriff der Infinitesimalrechnung als Erklärung der Veränderung konzentrierte.

Beide dachten eher in Form von Graphen als in Funktionen. Für Newton war der Kalkül geometrisch, während Leibniz ihn in Richtung Analyse führte, und auch entwickelte ein Notationssystem für Analysis.

Anwendungen der Infinitesimalrechnung in verschiedenen Bereichen

Calculus hat unser Leben in vielerlei Hinsicht komfortabel und produktiv gemacht. Hier sind einige Anwendungen, die dasselbe beweisen:

• Atmosphärenwissenschaftler können wetter- und klimabedingte Veränderungen genauer vorhersagen, indem sie Faktoren wie Windgeschwindigkeit, Feuchtigkeitsgrad, Temperatur, Druck usw. verwenden. Obwohl Sensoren als wesentliche Werkzeuge zur Vorhersage des Wetters dienen, sind die Grundlagen der Wettervorhersageliegen in Differentialgleichungen die die geringsten Änderungen der oben genannten wetterbezogenen Variablen berücksichtigen und Werte ausgeben, die zukünftige Wetterbedingungen widerspiegeln.
• Da der Hochbau ein tiefes Verständnis von Gewicht, Fläche, Höhe, Materialdichte und verschiedenen anderen Variablen erfordert. Bauingenieure und Architekten beschäftigen Differential- und Integralrechnung um sich mit der komplexen Mathematik zu befassen, die mit dem Bau von Gebäuden, Brücken und verschiedenen anderen Arten von Bauwerken verbunden ist.
• Für den ordnungsgemäßen und reibungslosen Betrieb von Robotern, die sich hauptsächlich die meiste Zeit bewegen müssen, sind die mit ihren Funktionen verknüpften Variablen wie Geschwindigkeit, Entfernung, Beschleunigung usw.muss gut koordiniert werden. Eine solche Koordination wird durch Computerprogramme erreicht und eingebaute Mechanismen, die geregelt werden durch auf Kalkül basierende Gleichungen.
• Biologen verwenden Rechenmethoden, um die Wachstumsrate von Bakterien und andere Mikroben. Es wird auch in der Patientendiagnose zur Berechnung des Herzzeitvolumens, des Blutdrucks, des Zell- und Tumorwachstums verwendet. Epidemiologen verwenden Kalkül, um die Ausbreitung von Infektionskrankheiten zu untersuchen.

Andere Kalkülanwendungen umfassen die Verwendung durch Experten auf dem Gebiet der Bioinformatik, um die Auswirkungen von zu untersuchen.Medikamente auf menschlichen Zellen über einen bestimmten Zeitraum. Die Nebenwirkungen von Medikamenten werden auch durch Integralrechnung analysiert. Darüber hinaus ist die Rechnung auch für die Genauigkeit hilfreich. Bevölkerungsvorhersage, Bevölkerungsdichte, Jahresniederschlag und zahlreiche andere Parameter.

Zum Zeitpunkt seiner Erläuterung wurde angenommen, dass der Kalkül nicht mehr als ein gewöhnliches mathematisches Konzept sei, das Veränderungen in Bezug auf die Zeit erklärt. Im Laufe der Jahre entwickelte sich das Konzept jedoch und wurde allmählich zu einem wesentlichen Tool zum Finden von Antworten bezogen auf eine beliebige Anzahl wichtiger Änderungen und Entwicklungen, die stattfinden.